Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы — Гипермаркет знаний. Исследование функций на монотонность и экстремум

Производная помогает также при исследовании функции на возрастание и убывание. Напомним вначале соответствующее определение.

Определение. Пусть функция определена на промежутке . Говорят, что она возрастает (убывает) на промежутке , если таких, что .

Теорема. Если функция дифференцируема на интервале и , то возрастает (убывает) на интервале .

Пусть производная функции непрерывна на промежутке . Для исследования ее на возрастание и убывание обычно придерживаются следующего плана:

1) Найти точки из , где . Эти точки называются стационарными.

2) Во всех промежутках, на которые разбивают стационарные точки, определить знак . Для этого достаточно определить знак в одной точке каждого промежутка (знак внутри каждого промежутка не меняется, поскольку в противном случае внутри этого промежутка по теореме Больцано-Коши должен быть нуль производной, что невозможно). Если внутри промежутка , то здесь согласно теореме возрастает. Если , то убывает.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Пример . Исследовать на возрастание и убывание функцию

Данная функция дифференцируема на всей числовой прямой.

1) . Найдем стационарные точки: . Корнями уравнения являются числа , .

2) Точки , разбивают числовую прямую на три интервала: , , .

На первом интервале возьмем .

Следовательно, на промежутке возрастает. На промежутке возьмем , . Поэтому убывает. На интервале возьмем , . Поэтому на интервале возрастает.

Определение. Пусть функция определена в . Точка называется точкой локального максимума (минимума), если cуществует такая, что

Если неравенства (1) строгие при , то точка называется точкой строгого локального максимума (минимума). Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке и является точкой экстремума, то

Доказательство теоремы не сложно получить из определения производной.

Замечание. Из теоремы следует, что точки экстремума функции нужно искать среди стационарных точек и точек, где производная не существует. Одно из достаточных условий экстремума непосредственно вытекает из следующей теоремы.

Замечание. Необходимое условие не является достаточным. Например, для функции имеем , но точка не является экстремумом, поскольку функция возрастает на всей числовой прямой.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция непрерывна в точке и дифференцируема в . Тогда:

а) если производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой локального максимума;

б) если производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, то точка является точкой локального минимума функции .

Заметим, что из теоремы следует, что в предыдущем примере точка является точкой локального максимума, а точка является точкой локального минимума функции .

Часто при решении различных задач приходится находить наибольшее и наименьшее значения функции на некотором множестве .

Рассмотрим как решается эта задача сначала для случая, когда это отрезок . Пусть функция непрерывна на отрезке и дифферецируема на интервале за исключением, быть может, конечного числа точек. Тогда, согласно теореме Вейерштрасса функция достигает на отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Из приведенных теорем вытекает следующий план отыскания наибольшего и наименьшего значений функции .

1) Найти производную и нули производной из .

2) Найти значения

а) в нулях производной из ;

б) на концах отрезка ;

в) в точках, где производная не существует.

3) Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание 1. Заметим, что находить промежутки возрастания и убывания здесь совсем не обязательно.

Замечание 2. Если является интервалом, полуинтервалом или бесконечным промежутком, то выше приведенным планом пользоваться нельзя. В этом случае для решения задачи о наибольшем и наименьшем значении нужно найти промежутки возрастания и убывания функции, пределы в граничных точках и с помощью не сложного анализа получить ответ.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке .

Найдем промежутки возрастания и убывания. Для этого найдем производную:

Точка разбивает промежуток на два интервала: и . Найдем в этих интервалах знак производной. Для этого вычислим

Таким образом, на полуинтервале функция убывает, а на промежутке возрастает. Поэтому Наибольшего значения не существует, так как . В этом случае пишут: .

Цели урока:

Образовательные:

повторить описание свойств кусочной функции по графику;
вывести и усвоить формальные определения возрастания и убывания функции;
научить доказывать монотонность функции на области определения.

Воспитательные:

воспитание познавательного интереса;
воспитание культуры общения;
воспитание ответственности за общее дело.

Развивающие:

развитие мышления и математической речи через формулировку общих выводов и обобщений.

Ход урока

Эпиграф к уроку:

"Мало иметь хороший ум, главное хорошо его применять"
Р. Декарт.

Домашнее задание к этому уроку: выясните, людям каких профессий по роду своей деятельности приходится читать графики.

Ответы: - кардиолог (кардиограмма)

Экономист (график динамики роста цен, роста стоимости нефти, рост курса $)

Метеоролог (график изменения температуры за год)

Сейсмолог (график колебания активности вулкана, сейсмоактивность данной местности).

Давайте посмотрим, насколько мы владеем этой культурой.

Аукцион "Чтение графика"

Последний ученик, правильно назвавший свойство функции, получает "5"

Дополнительный аукцион:

Кусочек графика какой функции изображен на чертеже?

Сегодня на уроке мы подробно рассмотрим только одно свойство функции - монотонность.

Подберите к прилагательному "монотонный" существительное. О чем говорят "монотонный"?

Движение.

Монотонный - значит какой? Одинаковый, повторяющийся.

С каким свойством функции можно связать словосочетание - монотонное движение? Движение куда?

Итак: монотонность - это возрастание и убывание функции.

В тетради: число, тема урока "Исследование функции на монотонность".

Давайте начнем с того, что мы уже знаем - с графика. Начертите в каждом столбике систему координат и изобразите график произвольной функции, обладающей указанным свойством на всей области определения.

В тетради таблица:

Отложим в сторону тетради. Для дальнейшего изучения свойства, давайте еще раз убедимся, что мы все хорошо понимаем о чем идет речь на уроке. Собираем лото.

Инструкция: На каждой парте таблица и набор карточек.

Работаем в парах. Карточек больше, чем необходимо. Будьте внимательны. Лото собирайте на тетрадке, чтобы потом перевернув, мы прочитали закодированную фразу, правильность которой зависит от слаженной работы каждой пары.

Набор карточек:

После того как каждая пара сложит лото и перевернет таблицу, из получившихся слов получается фраза:

"От живого созерцания к абстрактному мышлению, от него к практике - таков путь познания истины" Ф. Энгельс.

На боковой доске:

Нам сегодня предстоит подняться по этой лесенке, чтобы постигнуть лишь малую крупицу истины знаний, которые накопило человечество на своем пути развития.

Как вы думаете, на какой ступеньке мы находимся? Созерцание, т.е. рассматриваем графики. Продолжаем работу в тетради, в первом столбике таблицы.

Зафиксируйте х 1 , найдите по графику соответствующее у 1 , зафиксируйте х 2 - найдите у 2. Сравните х 1 и х 2 (х 1 < х 2). Что происходит со значением х?

Сравните у 1 и у 2 (у 1 > у 2). Что происходит со значением у?

Вывод: Большему значению х соответствует меньшее значение у. Это и есть определение убывающей функции. Запишите его в таблицу.

Самостоятельная работа.

1 вариант. Проделайте те же операции во втором столбике таблицы.

2 вариант. Заполните третий столбик.

Проверка по доске и в парах обмен результатами.

Итог работы.

Если мы знаем определение, то график для установления вида монотонности нам не нужен. А это значит, что мы поднялись на вторую ступеньку по лестнице познания.

Осталось применить свои знания на практике.

V. Задачник стр.194, № 4, 5 .Один ученик у доски.

Дано: у = 2х - 5

Доказать: у 1 < у 2

Доказательство:

х 1 < х 2 |· 2

2х 1 < 2х 2 | + (- 5)

2х 1 - 5 < 2х 2 - 5

у 1 < у 2 > функция у = 2х - 5 - возрастающая.

Дано: у = 7 - 13х

Доказать: у 1 > у 2

Доказательство: аналогично

Как называются функции, которые мы исследовали? От чего зависит вид монотонности линейной функции? Запишите вывод в таблицу. Используя этот вывод, выполним устно № 6. .

№ 8(а,б) . по вариантам, оформить в тетради по образцу.

Проверка вывода: как называется функция? Какой общей формулой задается функция? От чего зависит вид монотонности? Запишите в таблицу.

Как вы думаете, будет ли меняться вид монотонности, если смещать график вдоль оси Ох или Оу?

№ 8(в,г) устно.

Вспомните графики известных функций. Какая из них одинаково ведет себя на всей области определения? у = . Запишите в таблицу.

V. Наш урок подходит к концу. Закройте тетради. Откройте дневники.

Домашнее задание:

на "3" - выучить определения 10 ., 32 № 1,2;

на "4" + 32 № 11.,

на "5" + задание на карточке.

Построй графики - получишь рисунок. .

"собачка"

х = 8, - 19 у - 3;

у = - х - 11, 0 х 8;

х = 0, - 19 у - 11;

у = - х - 19, - 14 х 0;

х = - 14, - 5 у 1;

у = - х -13, - 14 х - 8;

х = - 8, - 11 у - 5;

у = х - 3, - 8 х 0;

у = - 3, 0 х 8;

у = - 0,6х + 1,2, - 2 х 8;

у = 1, 7 х 10;

у = - 4х - 42,8, 8 х 10;

у = , 5 х 8;

у = - 0,4х + 8, 0 х 2;

у = - 4х + 8, 0 х 2.

"парусник"

Формирование понятия производной в средней школе.

Введению понятия производной функции предшествует рассмотрение 2-х задач: 1)физической – задача о мгновенной скорости движения; 2)геометрической – о касательной к линии. Т.е. понятие производной функции должно формироваться на основе задач, приводящих к этому понятию. Заметим, что чем задачи разнороднее, тем лучше, так как именно разнородность приложения подчеркивается общность понятия производной. Отметим также, что рассмотрение задачи о мгновенной скорости позволяет выяснить механический смысл производной, а задачи о касательной к линии – ее геометрический смысл.

Внимание учащихся обращается на то, что решение каждой рассмотренной выше конкретной задачи по существу сводится к следующему.

А) Рассматривается функция f(x), определенная на некотором интервале (a,b). Берется некоторая точка х – фиксированная точка интервала (a,b) и точка х+- произвольная точка интервала (a,b) (
- приращение аргумента, которое может быть как положительным, так и отрицательным), т.е. а

Б) Рассматривается приращение функции, соответствующее приращению аргумента
:
=f(x+
) –f(x), и затем отношение приращения функции
к вызвавшему его приращению аргумента
:

Данное отношение есть функция переменной
, определенная для всех значений
из интервала (a-x,b-x), кроме
=0.

В) Ищется придел функции F(
) при
→0, и, если он существует, то его называют производной функцииf(x) в данной точке х.

Таким образом, естественно возникает следующее определение: производной функции f(x) в точке х называется придел отношения приращения данной функции в точке х к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует.

Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы

1. Исследование функций на монотонность

рис 1

Рисунок 2

а рис.1 представлен график некоторой возрастающей дифференцируемой функции

х =х 1 их = х 2 . Что общего у построенных прямых? Общее то, что обе они составляют с осьюх острый угол, а значит, у обеих прямых положительный угловой коэффициент. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом,
и
. А в точкех = касательная параллельна осих, в этой точке выполняется равенство
. Вообще в любой точкех из области определениявозрастающей дифференцируемой функции выполняется неравенство
.

На рис.2 представлен график некоторой убывающей дифференцируемой функции
. Проведем касательные к графику в точкахх =х 1 их = х 2 . Что общего у построенных прямых? Общее то, что обе они составляют с осьюх тупой угол, а значит, у обеих прямых отрицательный угловой коэффициент. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом,
и
. А в точке х = касательная параллельна осих , в этой точке выполняется равенство
. Вообще в любой точкех из области определенияубывающей дифференцируемой функции выполняется неравенство
.

Эти рассуждения показывают, что между характером монотонности функции и знаком ее производной есть определенная связь: если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна; если функция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна.

Для практики гораздо важнее то, что верны и обратные теоремы, показывающие, как по знаку производной можно установить характер монотонности функции на промежутке. При этом, во избежание недоразумений, берут только открытые промежутки, т. е. интервалы или открытые лучи. Дело в том, что для функции, определенной на отрезке
, не очень корректно ставить вопрос о существовании и о значении производной в концевой точке (в точкех = а или в точкех = b ), поскольку в точкех =а приращение аргумента может быть только положительным, а в точкех =b - только отрицательным. В определении производной такие ограничения не предусмотрены.

Теорема 1. Х выполняется неравенство
(причем равенство

возрастает на промежутке X.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство
(причем равенство
выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция
убывает на промежутке X.

Доказательства этих теорем проводят обычно в курсе высшей математики. Мы ограничимся проведенными выше рассуждениями «на пальцах» и для вящей убедительности дадим еще физическое истолкование сформулированных теорем.

Пусть по прямой движется материальная точка,
- закон движения. Если скорость все время положительна, то точка постоянно удаляется от начала отсчета, т. е. функция
возрастает. Еслиже скорость все время отрицательна,то точкапостоянно приближается к началу отсчета, т. е. функция
убывает. Если скорость движения была положительна, затем в какой-то отдельный момент времени обратилась в нуль, а потом снова стала положительной, то движущееся тело в указанный момент времени как бы притормаживает, а потом продолжает удаляться от начальной точки. Так что и в этом случае функция
возрастает. А что такое скорость? Это производная пути по времени. Значит, от знака производной (скорости) зависит характер монотонности функции - в данном случае функции
. Об этом как раз и говорят обе сформулированные теоремы.

Завершая рассуждения об исследовании функций на монотонность, обратим внимание на одно обстоятельство. Мы видели, что если на промежутке Х выполняется неравенство
, то функция
возрастает на промежуткеX ; если же на промежуткеХ выполняется неравенство
, то функция убывает на этом промежутке. А что будет, если на всем промежутке выполняется тождество
? Видимо, функция не должна ни возрастать, ни убывать. Что же это за функция? Ответ очевиден - это постоянная функция
(букваС - первая буква словаconstanta , что означает «постоянная»). Справедлива следующая теорема, формальное доказательство которой мы не приводим, ограничиваясь приведенными выше правдоподобными рассуждениями.

Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется равенство
, то функция
постоянна на промежутке X.

Общая схема исследования функции

Найти область определения функции. Выяснить характер поведения функции в граничных точках области определения.
Выяснить обладает ли функция особенностями: четность, нечетность, периодичность.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

Выяснить, имеет ли кривая вертикальные и наклонные асимптоты.

Найти интервалы возрастания и убывания функции. Исследовать функцию на экстремум.

Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции. Найти точки перегиба.

Построить график.

№ 44.63. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте график

Функция общего вида

№ 44.65. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте график

Функция общего вида

3) Найдем точки пресечения графика функции с осями координат:

№ 44.67. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте график

Четная функция

3) Найдем точки пресечения графика функции с осями координат:

Определите промежутки монотонности и экстремумы функции

 критических точек нет